Loi Binomiale - Les Carnets 0 abonnés

Par Van Merwan

Certains joueurs jouent simplement, ils consomment un jeu comme on consomme des chips. D'autres personnes jouent sérieusement, car ils aiment jouer comme cela, cela leur permet d'être efficace et de ne pas perdre trop de temps pour une même activité, ou parce qu'ils aiment être sûrs de ce qu'ils font. Dans un jeu qui favorise la qualité par rapport à la quantité de jeu (Arena), ce sont les joueurs sérieux qui gagnent, par contre dans un free-to-play-monster-bashing, les joueurs sérieux auront peu d'endroits où appliquer leur intelligence et où faire la différence avec d'autres joueurs.

Si vous aimez jouer sérieusement, ce carnet est fait pour vous. Cela va requérir toute votre attention (coupez donc la musique que vous écoutez), si ce carnet est gros c'est pour vous faciliter la compréhension au maximum. Réjouissez-vous lorsque vous voyez des pavés. Certes c'est mathématique et... original, mais une personne qui ne connaît pas la loi Binomiale ne peut pas se considérer comme étant un très bon joueur, étant donné qu'elle est utile quotidiennement ou hebdomadairement dans la grande majorité des MMORPG.
(Vous avez essayé de faire des croisements de dragodindes dans DOFUS ?)

Avant de continuer, essayez de comprendre ce qui va suivre.




1ère expérience : Un tofu jaune se cache dans un des 4 seaux.
Si je choisis de retourner un seau au hasard.
J'ai 25% de chance de le trouver.
J'ai 75% de chance de ne pas le trouver.
Ce sont deux issues. Je le trouve ou je ne le trouve pas. On constate que 25%+75%=1
Quand on fait la somme des probabilités de toutes les issues possibles, le résultat est toujours de 1.


2ème expérience : Un autre tofu (bleu) se cache dans un des 4 seaux bleus.
Si je choisis de retourner un seau au hasard.
J'ai 25% de chance de le trouver.
J'ai 75% de chance de ne pas le trouver.
C'est pareil, ce sont des expériences identiques et indépendantes.


Si on effectue les deux expériences à la suite, il y a 4 résultats possibles :
Je trouve le premier et second. J'ai 6,25% de chances. (25%x25%=0,25x0,25=0,125=12,5%)
Je trouve le premier, mais je ne trouve pas le second. 18,75% (25%x75%=0,25x0,75=0,1875=18,75%)
Je ne trouve pas le premier, mais le second. 18,75% (75%x25%=0,75x0,25=0,1875=18,75%)
Je ne trouve aucun tofu. 56,25% (75%x75%)
On constate que la somme des probas des issues est égale à 1. (100%)
La probabilité de trouver un tofu est de 37,5% (Somme de la seconde et troisième issue)








On peut continuer avec un 3e tofu, un 4e, un 5eme... mais calculer ce que l'on cherche devient de plus en plus compliqué. Si parmi 20 cachés je veux connaître la probabilité de trouver un unique tofu, je vais devoir faire la somme de 20 probabilités (je peux le trouver dans une des 20 expériences en considérant les autres ratées). Pire : si je veux en trouver exactement deux, il faut que je fasse la somme de 190 probabilités, car il y a 190 manières de trouver 2 tofus parmi 20. C'est un travail titanesque !

Mais il y a toujours une solution. ;-)





Imaginons un disciple d'Enutrof chasseur de trésors. Il a décidé de monter au niveau maximum la compétence Bénédiction d'Enutrof, car être puissant en combat ne l'intéresse pas, tout ce qu'il veut c'est des trésors ! Alors, il fait des combats, des combats, mais après 20 combats il en a marre, Ecaflip n'est pas avec lui aujourd'hui. Le sort passif indique "5% de chance d'obtenir un objet bonus en fin de combat", mais ce qui intéresse l'Enutrof, c'est de connaître sa probabilité d'obtenir un cadeau au bout de X combats, car ce vieux n'aime pas perdre du temps pour rien. Il sait juste que plus il fait de combats, plus il a de chance de gagner au moins un cadeau.

Heureusement, il y a la Loi Binomiale. La loi binomiale est une loi mathématique (non, ne fuyez pas) qui donne la probabilité de réussir une expérience au bout de n tentatives où la probabilité de réussir cette expérience est de p. En gros, la probabilité que le dieu de l'Enutrof lui donne un cadeau au bout de n combats sachant qu'il a p=5% de chances d'en avoir un au bout de chaque combat. Cela peut aussi signifier la probabilité d'infliger l'état Fauché au bout de n frappes (non coup critique) ayant la probabilité p=10% de l'infliger.

En fait, cela peut s'appliquer pour tous les cas où on a la réalisation de plusieurs expériences identiques indépendantes. Les expériences essayer d'avoir un objet d'Enutrof à la fin d'un combat sont dit "indépendants", car le fait d'obtenir un cadeau ne change pas la probabilité d'obtenir un second au prochain combat.
Par opposition, faire un coup critique avec Fiole Infectée et appliquer l'Etat Gangrène ne sont pas identiques, car de probabilités de réussite différentes et ne sont pas indépendantes, car réussir un coup critique facilite l'application de Gangrène.

Donc, une loi binomiale prend deux paramètres :
Le nombre d'expériences : n
La probabilité de succès/réussite de l'expérience : p
Dans l'exemple du premier paragraphe, l'expérience est d'essayer d'avoir un cadeau à la fin d'un combat.
Dans ce cas, n=20 et p=5%=0,05.

Si on pose X="Nombre de cadeaux reçus", on dit que X suit une loi Binomiale de paramètre n=20 et p=0,05.

C'est la notation mathématique que vous retrouverez souvent si vous avez de la chance de faire des probabilités et des statistiques dans vos études.









Donnée comme cela, la formule est incompréhensible. :p
Voyons chaque terme de la formule un par un.
P() : Signifie la probabilité de ce qui est à l'intérieur, sa valeur se situe entre 0 et 1.
X : C'est le nombre de cadeaux d'Enutrof reçus.
k : On définit ce nombre, si on souhaite recevoir k=1 ou k=2. k doit être un nombre entier positif ou nul et k doit être inférieur ou égal à n.
Donc P(X=k) correspond à la probabilité d'avoir k cadeaux d'Enutrof.
C'est ce que l'on cherche et on va la calculer en remplaçant les lettres de l'autre côté de l'égalité.
Attention, k doit être inférieur ou égal à n, car on ne peut pas avoir plus de cadeaux que de combats.
p : La probabilité de succès d'une expérience, c'est le second paramètre.
n : Le nombre de fois que l'expérience est tentée, le deuxième paramètre est k=20 ici.
Et q ? q est la probabilité d'échec, c'est à dire de ne pas avoir le cadeau après un combat. Comme après un combat on a soit le cadeau, soit on ne l'a pas, c'est équivalent à dire que p+q=1 donc que q=1-p. (Je soustrais par p des deux côtés de l'égalité.)

Et le dernier truc entre parenthèses ? C'est horrible, je ne peux même pas l'écrire avec mon clavier !
C'est le coefficient binomial, on le lit "k parmi n". Par exemple, 2 parmi 20 (k=2 et n=20) donne la valeur 190, car il y a 190 manières de choisir uniquement deux tofus parmi les 20 (Le 1er et le 2e, le 2e et le 3e, le 1er et le 3e, le 1er et le 4e...)
Choses importantes à savoir :
k=0 parmi n donne 1. Il y a une seule manière d'avoir aucun tofu : en avoir aucun.
k=1 parmi n donne n. S'il y a 20 tofus, je peux choisir de 20 manières un seul.
k=n parmi n donne 1. Le seul moyen d'avoir tous les tofus : tous les avoir.
Pour le reste des combinaisons ( 2 parmi 20, 4 parmi 50...) demandez à Google. Par exemple si vous tapez "2 parmi 20" il va vous donner 190. Vous pouvez aussi utiliser une calculatrice, mais la manière d’accéder à ce nombre dépend de la marque, de son modèle et c'est généralement impossible dans les calculatrices "Collège". Il y a également une formule vous permettant de calculer vous-même ce chiffre, mais elle ne fait pas l'objet de ce carnet.



Comprendre facilite l'apprentissage, les initiatives personnelles et l'appréciation d'un cours.
Pour cela, appliquons la formule pour k=1.



Sur cette image, j'ai juste remplacé les lettres par leurs valeurs respectives, vous pouvez comparer avec la formule en haut. 0,95^19 correspond à 0,95x0,95x0,95x...x0,95. (On multiplie 19 "0,95" entre eux.)

La probabilité d'avoir un cadeau parmi les 20 tentatives :
Si on suppose que l'on obtienne le sésame à la première tentative, on le rate dans les 19 autres.
Donc cette probabilité est égale à 0,05x0,95^19. Mais il faut multiplier cette probabilité par 20.
Car il y a "1 parmi 20"=20 autres manières d'obtenir un seul cadeau. (Obtenu uniquement à la 2e, 3e, etc.)

En faisant le calcul : P(X=1)=0,05x(0,95^19)x20=0,377 (Note : 0,05^1=0,05 ; 0,05^0=1)
Donc l'Enutrof a 37,7% de chances d'obtenir exactement un cadeau au bout de 20 combats. YES
Calculons aussi pour P(X=0)=1x0,95^20x1=0,358
Par contre, il a aussi 35,8% de ne rien voir. ZUT!





On a calculé la probabilité d'avoir 0 ou 1 cadeau, mais pas de 2, de 3, de 4... ou de 20!
Or, l'Enutrof n'a pas le temps de calculer tout cela.

Ok, comme il y a 20 tentatives, on peut soit avoir 0,1, 2, 3, 4, ... , ou 20 cadeaux.
Donc P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+...+P(X=20)=1.
Donc si on veut un nombre de cadeaux supérieur ou égal à 2 :
P(supérieur ou égal à 2)=P(X=2)+P(X=3)+...+P(X=20)=1-P(X=0)-P(X=1)
P(supérieur ou égal à 2)=1-P(X=0)-P(X=1)
P(supérieur ou égal à 2)=1-0,358-0,377 (On l'a déjà calculé)
P(supérieur ou égal à 2)=0,265

Si l'Enutrof veut au moins un cadeau :
P(supérieur ou égal à 1)= 1-P(X=0) = 1-0,95^20 = 0,642
Donc il a 64,2% de chances d'obtenir au moins un cadeau au bout de 20 combats!






Ce ne sont que des probabilités et l'Enutrof aimerait bien savoir également combien de cadeaux il peut espérer avoir au bout de ses 20 combats.

Pour cela il y a la formule de l'espérance=moyenne pour une loi binomiale : Espérance=np
Donc au bout de n combats avec une proba p d'être béni par Enutrof, je peux espérer n fois p cadeaux.
Au bout de 20 combats, il est censé gagner en moyenne 20x0,05=1 cadeau.
Au bout de 100 combats, il est censé gagner en moyenne 100x0,05=5 cadeaux.

Seulement en pratique, il obtient rarement exactement 5 cadeaux au bout de 100 combats, il aimerait donc savoir à quel point le nombre de cadeaux qu'il peut obtenir s'éloigne de la moyenne. Pour cela il peut calculer la variance dans une loi binomiale : Variance=npq (Rappel : q=1-p)
Pour les 100 combats, la variance est de 100x0,05x0,95=4,75. Plus l'indice est grand, plus il a de chance que le nombre de cadeaux reçus au bout de ses combats soit loin de la moyenne. Une faible variance est souvent avantageuse (on est plus sûr d'avoir un résultat proche de l’espérance), mais une forte variance peut également être bien en fonction du cas dans lequel la loi binomiale est utilisée.




Si vous trouvez un passage insuffisamment clair ou détaillé, n'hésitez pas à le dire en commentaire. Je me ferais une joie de perfectionner ce carnet. J'ai volontairement caché certains termes comme "Univers" et "Variable Aléatoire" qui font peur, mais ce sont des choses simples que vous aurez l'occasion de découvrir par la suite.

Maintenant, si vous hésitez à monter un sort à cause d'un effet probabiliste ou que vous voulez jouer Ecaflip (c'est-à-dire toutes les classes du jeu), vous savez quoi faire. Dédicace à Tiris, qui part un sort abusay me fait gagner 400 kamas par heure quand ce n'est pas de l'engrais naturel.

Dieu Enutrof : Tiens Van, je te bénis ! Voici ta crotte.
Van Merwan : Merci mon dieu, je vais en faire un fossile inutile en votre hommage.

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